FUNCIÓN TANGENTE
Análisis

- Definición, gráfica y propiedades:

Definición de la función tangente.

Construcción de la función tangente.

Representación gráfica y propiedades.

 


- DEFINICIÓN, GRÁFICA Y PROPIEDADES.

Al igual que en el caso de las funciones seno y coseno, vamos a proceder a analizar diversos apartados que desarrollaremos en este capítulo hasta completar el estudio de la función tangente. Las escenas que aparecen nos ayudarán a comprender mejor los conceptos. 

 

Definición de la función tangente.
Llamaremos función tangente a aquella que asocia a cada ángulo el valor de la tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente:

y = tg x

A continuación tienes una tabla donde se relacionan algunos ángulos con sus tangentes correspondientes:

ángulo  en grados (x) 30º 45º 90º 180º 240º 270º 300º 360º 720º ....
tangente (y) 0 1 No existe 0 ? ? ? ? ....

Ejercicio: Completa la tabla con las tangentes de los ángulos que faltan.

Como ya sabes, para las funciones trigonométricas, usaremos el ángulo (x) en radianes por lo que  la tabla anterior nos quedaría: 

ángulo en radianes (x)

    p 2p 4p ....
tangente (y) 0 1 No existe 0 ? ? ? ? ....

(NOTA: Es importante no olvidar esto porque en las próximas escenas utilizaremos los radianes como unidades del eje X y aunque los ángulos los expresemos en grados, serán transformados a radianes).

 

 

Construcción de la función tangente.

La forma más sencilla para construir la gráfica de la función tangente es representar los pares de puntos que se obtienen tras realizar una tabla de valores, como la que hemos obtenido anteriormente. 

 

1.- Cambia el valor del ángulo y observa  cómo se va representando el par de puntos que se obtiene al elaborar la tabla de valores.

2.- Prueba qué ocurre al dar al ángulo valores próximos a 90º ¿Y se le diésemos 90º? ¿Y en 270º? 

3.- Da al ángulo valores mayores de 360º y menores que 0º y observa qué ocurre. 

 

Representación gráfica. Propiedades.

En el apartado anterior, sólo hemos dado algunos valores a los ángulos pero la gráfica de la función tangente quedaría completamente definida si diésemos todos los valores posibles. 

A continuación se presenta la gráfica de la función tangente y a partir de ella vamos a tratar de obtener algunas propiedades.

 

1.- ¿Para qué valores de "x" existe imagen? 

2.- ¿Qué valores puede tomar "y" (el valor del tangente)? 

3.- ¿Es continua esta función?¿En qué puntos no lo es?

4.- ¿Presenta simetría?

5.- ¿Se repite? ¿Cuál es su período?

6.- ¿En qué puntos corta al eje X? ¿Y al eje Y?

7.- ¿En qué intervalos la función es positiva? ¿Y negativa?

8.- Calcula dónde se alcanzan los valores máximos y mínimos. 

9.- ¿Podrías decir dónde crece y dónde decrece?

10.- ¿Cuánto valdrá la tangente para valores muy grandes del ángulo? ¿Y para valores muy pequeños?

 Si has contestado adecuadamente a las cuestiones anteriores habrás deducido las propiedades de la función tangente. A continuación aparecen las propiedades de dicha función (para una mejor comprensión, los ángulos se han vuelto a expresar en grados en lugar de radianes)

Propiedades de la función    y = tg x 

 Dominio 3 -
 Recorrido o Imagen  3
 Continuidad Discontinua en los puntos 
 Simetría Simetría impar
 Periodicidad Periódica con periodo T = p (180º)
 Puntos de corte con eje Y En y = 0
 Puntos de corte con eje X En x = kp,  (siendo k un número entero)
 Signo de la función Positiva en  el intervalo (0º,90º) (con periodicidad p)  

Negativa en el intervalo (90º, 180º) (con periodicidad p)

 Máximos relativos No presenta
 Mínimos relativos No presenta
 Crecimiento  (0º, 90º) U (90º, 180º) ( con periodicidad p)
 Decrecimiento  Nunca decrece
 Tendencia  Si , no podemos saber a qué tiende "y"
 Crecimiento  Si , no podemos saber a qué tiende "y"