FAMILIA DE FUNCIONES.
TIPOS Y OPERACIONES
Análisis
 

10.- FUNCIÓN INVERSA DE OTRA
Si una función f consiste en elevar al cuadrado y otra función g consiste en extraer la raíz cuadrada, cada una neutraliza lo que hace la otra.
            
                

Las funciones f y g son una inversa de la otra.

 
En esta escena están representadas las funciones:
para x>0

que son una inversa de la otra.

Fíjate bien en las coordenadas de los puntos P de f y Q de g (puedes mover el punto P arrastrándolo con el ratón)

Si P(a,b) ¿cuáles son las coordenadas de Q? Consecuencia de ello, si te fijas en la escena, las gráficas de f y g son simétricas respecto a la recta y=x
A la función inversa de f, se le llama f -1, y se cumple que: 

Si f(a)=b f -1(b)=a

Como consecuencia se dan las relaciones siguientes:

(f -1 º f)(x)=x                    (f º f -1)(x)=x


          10.1.- Método para hallar analíticamente la función inversa de otra
Tenemos la función y=f(x), y queremos hallar su inversa.

1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y=f(x) x=f(y)

2) Se despeja la y en la nueva expresión x = f(y) y=f -1(x)

EJEMPLO: y=2x

1) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x=2y

2) Despejamos la y, nos queda entonces

Por tanto la función inversa de y=2x es

EJERCICIO 13
Más abajo tenemos una escena con tres funciones.
y=2*x (y=2x)   y=x  y=x/2 ()

La segunda, o sea y=x, no la puedes cambiar, las otras dos sí. (Más adelante te explicaré cómo)

Ya te habrás dado cuenta que en la escena no se pueden escribir las fórmulas de las funciones tal como las escribes en el papel. Así la función y=2x, se escribe y=2*x (siempre hay que poner el signo de multiplicar *).

Y la función , se escribe y=x/2 (pues hay que escribir en una sola línea)

Estas dos funciones que aparecen en el inicio de la escena, son una la inversa de la otra, según hemos visto en el ejemplo anterior. Por tanto sus gráficas son simétricas respecto a la recta y=x, como podrás observar en la escena.

En este ejercicio tienes que deducir en tu cuaderno la inversa de algunas funciones, escribir cada función y su inversa en la parte inferior de la escena, sustituyendo a las iniciales y=2x e , y comprobar que sus gráficas son simétricas respecto a y=x.

Para introducir en la escena cada función y su inversa, basta que borres las iniciales y escribas las nuevas, y a continuación des a la tecla ENTER. Todas las funciones hay que escribirlas en forma explícita, o sea con la y despejada.

La función que está en azul deja rastro, así que tendrás que dar al botón LIMPIAR para que se borre la anterior.

Cuando la función de la que quieres hallar la inversa contiene x2, al despejar hallarás dos raíces cuadradas, una con + y otra con -, en estos casos no te conviene limpiar para ver las dos raíces a la vez.

Algunos ejemplos de cómo escribir las funciones en la escena:

y=x2 y=x^2
y=x^(1/2)
y=5x+1 y=5*x+1
y=3/(x-1)
y=(x^2+8)/9
y=(x^3)/5-2
y=ln(3x-1) (ln es logaritmo neperiano, o sea de base el número e) y=log(3*x-1)
y=log(x2) (log es logaritmo decimal, o sea de base 10) y=log10(x^2)
y = e2x y=e^(2*x)
y = log3 (x) (log3 es logaritmo de base 3) y=log(x)/log(3)

 

Halla en tu cuaderno las funciones inversas de éstas:

y=x3

y=2x-3

y=x2+1

y=ln x

y=5·2x

Comprueba en la escena que cada función con su inversa son simétricas respecto a la recta y=x


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