NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que sirven para contar: 1, 2, 3,…

Son infinitos y forman un conjunto que se denomina |N.

Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta cuyo origen es el 0 , que también puede considerarse incluido en el conjunto.

 

OPERACIONES

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es, también, un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la resta y la división.

 

PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO

PROPIEDAD

SUMA

PRODUCTO

Asociativa

Conmutativa

Elemento neutro

Es el 0, porque

Es el 1,  porque

Distributiva del producto respecto de la suma

 

Jerarquía de operaciones y uso del paréntesis

  • La multiplicación se ejecuta antes que la suma:

  • Si queremos dar prioridad a la suma, lo indicamos con un paréntesis:

                                               

                                                 

División

  • Dividir es repartir.
  • En una división:

                        Dividendo = divisor x cociente + resto

  • Si el resto es cero, la división es exacta.
  • Si el resto es distinto de cero, la división es entera.

Potenciación

Una potencia es una multiplicación reiterada.

  • Se escribe an
  • Se lee a elevado a n
  • Donde a es la base y n el exponente.

                       

Propiedades de las potencias

PROPIEDAD

EJEMPLO

Además:          

                   

                                                          

DIVISIBILIDAD

Múltiplos y divisores

Si el cociente de dos números naturales, a : b, es exacto, diremos que a es múltiplo de b y que b es divisor de a.

                        56 : 7 = 8         “56 es múltiplo de 7 y 7 es divisor de 56”

La relación de divisibilidad también puede expresarse así: “a es múltiplo de b si hay otro número que multiplicado por b da como resultado a.

                        “56 es múltiplo de 7 porque hay otro número, el 8, tal que 7 . 8 = 56”

Si multiplicamos  a por cualquier número, obtenemos múltiplos de a:

8 . 1 = 8          8 . 2 = 16        8 . 3 = 24        …        8 . 11 = 88      …

8, 16, 24, …, 88,… son múltiplos de 8 y, a su vez, 8 es divisor de todos ellos.

Propiedades de los múltiplos y divisores

  • Todo número natural es múltiplo de 1.
  • Todo número natural es múltiplo y divisor de sí mismo.
  • Los divisores de un número “n” forman parejas cuyo producto es “n”

     

      Por ejemplo:    Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12

                              1 . 12 = 1        2 . 6 = 12        3. 4 = 12

Números compuestos y números primos

 

  • Un número compuesto es el que se puede expresar como producto de factores más simples.

            Un número compuesto tiene divisores distintos de él mismo y la unidad.

  • Un número primo es el que no puede descomponerse en factores.

            Los únicos divisores de un número primo son él mismo y la unidad.

  • Los número primos menores de 100 son:
     

1 – 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 –  59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 - 97

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad.

Por ejemplo: 12 y 25

            Divisores de 12 :  1, 2, 3, 4, 6, 12

            Divisores de 25:  1, 5, 25

            El único divisor que tienen en común es el 1

Criterios de divisibilidad

 

2

Un número es múltiplo de 2 si termina en cifra par.

3

Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

9

Un número es múltiplo 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

5

Un número es múltiplo 5 si termina en 0 o en 5.

10

Un número es múltiplo de 10 si termina en 0.

11

Se suman las cifras de lugar par por un lado y las del lugar impar por otro.

Se restan las cantidades obtenidas.

El número es múltiplo de 11 si la diferencia obtenida es 0 o múltiplo de 11.

n

Para saber si un número “a”  es múltiplo de otro cualquiera “n”, se divide a entre n y se mira si la división es exacta.

 

Descomposición de un número en factores primos

Es la descomposición factorial más minuciosa posible y, para cada número, es única.

Para descomponer un número en sus factores primos se va dividiendo entre los sucesivos números primos, a partir del 2, y tomando cada cociente exacto como nuevo dividendo.

Por ejemplo:
                

594 = 2 . 33 . 11

Cálculo del máximo común divisor de dos o más números

Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores primos comunes  elevados al menor exponente.

Ejemplo:  M.C.D. de 30 y 36
 

 30 = 2 .3 .5

 36 = 22 . 3
2

 M.C.D ( 30, 36) = 2 . 3 = 6   

Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números

Se descomponen los números en factores primos y se toman los factores primos comunes y no comunes  elevados al mayor exponente.

Ejemplo m.c.m de 30  y 36

            m. c. m. (30 , 36) = 22 . 32 . 5 = 180

 

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