Isaac Newton
(1642-1727)

Ley de Newton

Ley de Gravitación Universal

Ley de Newton
Principio de superposición
Intensidad del campo gravitatorio 
Aceleración de la gravedad
Energía potencial
Satélites
Velocidad de escape

Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal: todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. 

Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe:

La idea de Newton es la siguiente: Un planeta girando en su órbita no se mueve en línea recta, por lo que debe estar sometido a una aceleración neta. Dado que la órbita es casi circunferencial la aceleración debe ser centrípeta, así que se tiene que la segunda ley de Newton queda

El "m" de esta ecuación proviene de la segunda ley de Newton, por lo que representa la masa de quién siente la fuerza, es decir, es la masa del planeta. Lo que "sostiene" a un planeta en su órbita es la atracción gravitacional del Sol, que llamaremos Fg (de "fuerza gravitacional"). Dado que ella es una sola fuerza, la suma de las fuerzas se reduce a sólo Fg. Supongamos que llamamos T al tiempo de la revolución de un planeta en torno al Sol (su "año"). Como la trayectoria es circunferencial, la distancia que recorre el planeta en el tiempo T es 2pr, por lo que se tiene que

Introduciendo esta expresión de v2 en la segunda ley de Newton, simplificando  y usando Fg se llega a

La tercera "ley" de Kepler establece que el cuadrado de T  es proporcional al cubo del radio de la órbita,

podemos simplificar agrupando las constantes: 

Fg = m K/ r2

Esa es la fuerza que ejerce el Sol sobre el planeta y del mismo modo el planeta ejercerá una fuerza sobre el Sol que según el principio de acción y reacción debe tener el mismo valor:

(1)    Fg = M K2 / r2

De las expresiones anteriores e introduciendo una nueva constante G, se deduce que:

m K1 = M K2    =>    K1/M = K2/m = G

Si sustituimos K2 por G m, en la expresión (1), obtenemos la ecuación:

 

Principio de superposición

La ley descubierta por Newton se aplica al hallar la fuerza de atracción entre dos únicos cuerpos puntuales. Por eso es lógico preguntarse que sucederá cuando tenemos tres o más cuerpos que se atraen gravitatóriamente entre sí. Para ello se ha descubierto el principio de superposición.

Este principio indica simplemente que, a la hora de calcular cual será la fuerza de atracción  que siente una partícula por un conjunto de partículas, basta sumar vectorialmente las fuerzas.

Esta propiedad, pese a que estamos acostumbrados a ella, no deja de ser sorprendente. De alguna forma la perturbación que se crea en el espacio y que logra que los cuerpos se atraigan, es independiente de si ya existe otra perturbación creada por otros cuerpos, y simplemente se suman sus resultados respectivos para formar el total.

 

 Intensidad del campo gravitatorio

Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol ``tira'' de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usando para ello un concepto denominado ``acción a distancia'', es decir, es una misteriosa capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que ``haya nada en medio''. No obstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planeta se sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la que se denomina campo.

\begin{displaymath}\vec{g}=\frac{\vec{f}}{m}.\end{displaymath}

El campo gravitatorio $\vec {g}$ que existe en cualquier punto del espacio es igual a la fuerza neta que experimentaría una partícula de masa m en dicho punto dividida por esa misma masa. (es la fuerza gravitatoria que actuaría sobre la unidad de masa colocada en dicho punto)

 

Medida de la  aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta

En la expresión P =  m g vemos que  g es la relación entre la fuerza gravitatoria (peso) y la masa, por tanto es la intensidad del campo gravitatorio.

El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta será sencillamente el valor que el campo tiene en dicho punto y, por tanto al dividir la siguiente expresión de la fuerza gravitatoria por m 

obtenemos:

= G M / R2

donde M es la masa del planeta y R el radio que dicho planeta tiene.

 

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial es fácilmente obtenible a través del trabajo que supone desplazar una partícula o cuerpo desde una posición hasta otra. Esto es así porque esta magnitud nos expresa una cierta energía ``especial'', ya que la tiene el cuerpo por ocupar una posición, y la energía está íntimamente relacionada con el trabajo. Así podemos plantear cuál será dicho trabajo como:

\begin{displaymath}W_{AB} = \int^B_A \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{l}.\end{displaymath}

\begin{displaymath}W_{AB}=-\int^{r_B}_{r_A} \frac{GMm}{r^2}dr =
GMm\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right).\end{displaymath}


\begin{displaymath}
E_p^{grav}(\vec{r}) = -\frac{GMm}{r}.
\end{displaymath}

Observa definir la energía potencial gravitatoria de esa forma implica:

 

Problemas de satélites

Para resolver problemas de satélites generalmente basta con lograr relacionar su velocidad con la altura a la que órbita. Para ello se supone que describen una órbita circular a velocidad angular constante y que, por tanto, debe existir una fuerza que proporcione la aceleración normal necesaria. Esta fuerza es la gravitatoria.

Partiendo de Fcentripeta = Fgravitatoria se resuelven estos problemas

m v2/r = G M m/r2

y relacionando v con otras magnitudes como v = w r  y w = 2p/T


Velocidad de escape

Se llama velocidad de escape a aquella que hay que dar a un cuerpo para que logre desligarse de la atracción gravitatoria a la que se encuentra sometido. Como desligar a un cuerpo de la atracción gravitatoria supone en cierta medida aislarlo del cuerpo que lo atrae, necesitaremos que la energía que tenga dicho cuerpo, sea, por lo menos, nula. En caso contrario tendrá una cierta energía potencial negativa, que supondrá que aún se encuentra ligado con el sistema que le atrae. Así pues tomando que la energía total, suma de cinética y potencial debe ser cero, tendremos que

\begin{displaymath}\frac{1}{2}mv^2
-\frac{GMm}{r}=0\end{displaymath}
 

De donde se deduce:

 
 

 

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