Teorema de Gauss

 

Concepto de flujo del campo eléctrico

flujo.gif (1770 bytes) Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie F =E·S

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero.

Teniendo en cuenta que el modulo de E es el número de líneas por unidad de superficie perpendicular al campo, el flujo a través de una superficie cerrada dentro de un campo de fuerzas representa el número neto de líneas de fuerza que salen de la superficie cerrada. Por ello: 

Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

 

 

Aplicaciones del teorema de Gauss    

1. Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente cargada:
En un punto A a una distancia R del centro de la esfera podemos calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie gaussiana  una superficie esférica de radio R con el mismo centro que la esfera cargada y sabemos que por razones de simetría en todos los puntos de la esfera el campo vale lo mismo, E y además el campo será perpendicular a la superficie, por lo que al hacer la integral de E. dS nos queda simplemente E S donde S es la superficie de la esfera de radio R

 

F = E S = E 4 P R2 = Q / eo   =>      E  Q /4 P eoR2   

E = K Q / R2

Observamos que el campo creado por una carga Q distribuida uniformemente por una esfera es el mismo que el de una carga puntual Q  colocada en el centro de la esfera

2. Campo creado por un plano indefinido cargado uniformemente:
Tomamos ahora como superficie gaussiana un paralelepípedo regular con dos caras paralelas al plano. Solo habrá flujo a través de las superficies paralelas al plano y por razones de simetría en toda la superficie tendrá el mismo valor y será perpendicular a dichas superficies.

 

F = E S1 + E S2 = 2 E S = Q / eo        =>       E = Q / 2 S eo

E = s / 2 eo

Donde s  es la densidad superficial de carga Q/S

Utilizando lo anterior podemos calcular el campo en el interior de un condensador plano ( dos láminas paralelas )   
sior el campo total es la suma de los campos que crean las placas positiva y negativa, es decir multiplicar por dos el campo creado por una de las placas:

E = Q /  S eo

Teniendo en cuenta que en un campo uniforme V = E d y que C = Q/V podemos deducir la capacidad del condensador plano:

C = eo S / d

3. Campo creado por un hilo conductor cargado e indefinido.
En un punto A a una distancia R del centro de la esfera podemos calcular el campo del siguiente modo: Tomamos como superficie gaussiana  una superficie cilíndrica de radio R ocupando el hilo la posición del eje principal, por razones de simetría el campo tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie cilíndrica y es perpendicular a la superficie, por tanto:

F = E S = E 2 P R L = Q / eo   =>      E  Q /2 P R L eo

         E =/ 2 p r eo

Donde l es la densidad lineal de carga l/L